Question

设f（x）=cos（sinx）与g（x）=sin（cosx），以下结论错误的是（　　）

• A、f（x）与g（x）都是偶函数
• B、f（x）与g（x）都是周期函数
• C、f（x）与g（x）的定义域都是[-1，1]
• D、f（x）的值域是[cos1，1]，g（x）的值域是[-sin1，sin1]

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：由函数的奇偶性的定义及诱导公式，即可判断A；运用函数的周期的定义和诱导公式，即可判断B；
由定义域为R，即可判断C；由正弦、余弦函数的值域和单调性，即可判断D．

解答： 解：对于A，定义域R关于原点对称，f（-x）=cos（sin（-x））=cos（-sinx）=cos（sinx）=f（x），
g（-x）=sin（cos（-x））=sin（cosx）=g（x），故f（x），g（x）均为偶函数，故A正确；
对于B，由于f（x+π）=cos（sin（x+π））=cos（-sinx）=cos（sinx）=f（x），故f（x）为周期为π的函数．
g（x+2π）=sin（cos（x+2π））=sin（cosx）=g（x），则g（x）是周期为2π的函数，故B正确；
对于C，f（x）与g（x）的定义域均为R，故C错误；
对于D，f（x）=cos（sinx），由于sinx∈[-1，1]，则f（x）∈[cos1，1]；
g（x）=sin（cosx），由于cosx∈[-1，1]，且[-1，1]⊆[-

π

2

，

π

2

]，则为增区间，
则有g（x）∈[-sin1，sin1]，故D正确．
故选C．

点评：本题考查三角函数的图象和性质，考查函数的周期性、单调性和值域等性质，属于中档题和易错题．