Question

已知函数f（x）=lnx-x-lna，g（x）=

1

2

x2-（a-1）x．
（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求实数a的取值范围并证明x₁+x₂随a的增大而减小．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用函数h（x）=f（x）+g（x）的导函数的值为正，得到函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）根据函数的特征得到函数f（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁＜x₂时的函数最值情况，得到a的相应关系式，求出a的取取值范围，再利用根与系数的关系，得到x₁+x₂与

x2

x1

=t单调关系，以及t与a的单调的关系式，得到本题结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=lnx-x-lna，g（x）=

1

2

x2-（a-1）x，
∴函数h（x）=f（x）+g（x）=lnx+

1

2

x2-ax-lna，
∴定义域为（0，+∞）且a＞0，
∵h′(x)=

1

x

+x-a=

1

x

(x2-ax+1)=

1

x

[(x-

a

2

)2+

4-a

4

2)，
∵lnx，lna有意义，
∴x＞0，a＞0．
（1）当4-a²≥0，即0＜a≤2时，
h'（x）≥0对x＞0恒成立，
∴h（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
（2）当4-a²＜0，又a＞0，即a＞2时，
由h'（x）=0得：x=

a- a2-4

2

，或x=

a+ a2-4

2

，
所以h（x）的单调递增区间为(0，

a- a2-4

2

)，(

a+ a2-4

2

，+∞)；

（Ⅱ）当a＞0时，由f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，得x=1．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	-lna-1	↘

这时，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．
当x大于0且无限趋近于0时，f（x）的值无限趋近于-∞；
当x无限趋近于0时+∞，f（x）的值无限趋近于-∞，
∴f（x）有两个零点，须满足f（1）＞0，即lna＜-1，
∴a的取值范围是（0，e^-1）．
∵x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，即lnx₁-x₁-lna=0，lnx₂-x₂-lna=0．
∴x2-x1=lnx2-lnx1=ln

x2

x1

．
设

x2

x1

=t，则t＞1，且

x2=tx1 x2-x1=lnt

解得x1=

lnt

t-1

，x2=

tlnt

t-1

．
所以x1+x2=

(t+1)lnt

t-1

．
令h(x)=

(x+1)lnx

x-1

，x∈（1，+∞），则h′(x)=

-2lnx+x- 1 x

(x-1)2

．
令u(x)=-2lnx+x-

1

x

，得u′(x)=(

x-1

x

)2．
当x∈（1，+∞）时，u'（x）＞0．因此，u（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴对于任意的x∈（1，+∞），
u（x）＞u（1）=0，
由此可得h'（x）＞0，
故h（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴由①可得x₁+x₂随着t的增大而增大．①
∵x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，
即lnx₁-x₁-lna=0，lnx₂-x₂-lna=0，
∴a=

x1

ex1

，a=

x2

ex2

，
因为f（1）=-1-lna且a∈（0，e^-1），则x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）．
设F(x)=

x

ex

，则F′(x)=

1-x

ex

，
所以F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
对于任意的a1，a2∈(0，e-1)，设a₁＞a₂，
∴F（ξ₁）=F（ξ₂）=a₁，其中0＜ξ₁＜1＜ξ₂；
F（η₁）=F（η₂）=a₂，其中0＜η₁＜1＜η₂．
∵F（x）在（0，1）上单调递增，
∴由a₁＞a₂，即F（ξ₁）＞F（η₁），可得ξ₁＞η₁；
类似可得ξ₂＜η₂，
由ξ₁，η₁＞0，则

1

ξ

1＜

1

η1

，所以

ξ2

ξ1

＜

η2

η1

．
∴t=

x2

x1

随着a的增大而减小．②
由①②得：x₁+x₂随a增大而减小．

点评：本题考查了函数的导数与单调性、最值的关系，以及构造函数研究参数之间的关系，本题思维的难度大，运算量也较大，属于难题．