Question

关于函数f（x）=

x2+ax+a

x

（x≠0），下列说法正确的是

 

．
①函数f（x）有两个极值点x=±

a

；
②函数f（x）的值域为（-∞，-2

a

+a]∪[2

a

+a，+∞）；
③当a≤1时，函数f（x）在[1，+∞）是增函数；
④函数f（x）的图象与x轴有两个公共点的充要条件是a＞4或a＜0．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求出原函数的导函数，取a=0即可判断①②错误；分a≤0和a＞0分别研究函数的单调性判断③正确；由a＜0分析原函数的图象的大致情况，由a＞0求使函数在x＜0时的最大值大于0求解a的范围判断④．

解答： 解：f（x）=

x2+ax+a

x

=x+

a

x

+a，
f′(x)=1-

a

x2

=

x2-a

x2

．
若a=0，则f′（x）=1＞0，函数f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上为增函数，不存在极值点，命题①错误；
若a=0，函数f（x）=x（x≠0），值域为（-∞，0）∪（0，+∞），命题②错误；
由f′(x)=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在[1，+∞）是增函数；
当a＞0时，由f′（x）≥0，得x≤-

a

或x≥

a

．
若a≤1，则函数f（x）在[1，+∞）是增函数，命题③正确；
当a＜0时，函数f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上为增函数，
又当x小于0且无限趋于0时，x+

a

x

+a＞0，当x大于0且无限趋于0时，x+

a

x

+a＜0，
∴a＜0时函数f（x）的图象与x轴有两个公共点．
当a＞0时，由y=x+

a

x

+a在x＜0时的最大值a-2

a

＞0，解得：a＞4．
∴函数f（x）的图象与x轴有两个公共点的充要条件是a＞4或a＜0．
∴正确的命题是③④．
故答案为：③④．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了学生的逻辑思维能力，是中档题．