Question

已知△ABC满足|BC|=6，|AB|+|AC|=10，则下列命题正确的是

 

（写出所有正确命题的编号）．
①点A的轨迹是椭圆；
②△ABC可以是以∠A为直角的直角三角形；
③△ABC面积的最大值为12；
④△ABC外接圆半径存在最小值，且为

25

8

；
⑤△ABC内切圆半径存在最大值，且为

3

2

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆的定义，即可得到A的轨迹，从而判断①；
由于b＞c，则以BC为直径的圆与椭圆没有交点，即可判断②；
当A为椭圆的短轴的端点，三角形ABC的面积最大，求出面积，即可判断③；
由正弦定理，可得2R=

BC

sinA

=

6

sinA

，由于当A为短轴端点时，∠BAC最大，求出最小值，即可判断④；
设三角形的内切圆的半径为r，则由三角形的面积为

1

2

r（|AB|+|AC|+|BC|）=8r，
则由于△ABC面积的最大值为12，求出半径的最大值，即可判断⑤．

解答： 解：对于①，由于△ABC满足|BC|=6，|AB|+|AC|=10，则由椭圆的定义，
可得A的轨迹为以B，C为焦点，焦距为6，长轴长为10的椭圆，（除去和B，C共线的两点），故①错误；
对于②，由于c=3，a=5则b=4，b＞c，则以BC为直径的圆与椭圆没有交点，即不存在A，
使得△ABC是以∠A为直角的直角三角形，故②错误；
对于③，由于c=3，a=5则b=4，当A为椭圆的短轴的端点，三角形ABC的面积最大，
则有最大值为

1

2

×6×4=12，故③正确；
对于④，由正弦定理，可得2R=

BC

sinA

=

6

sinA

，由于当A为短轴端点时，∠BAC最大，
此时sinA=2sin

A

2

cos

A

2

=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

，即有R的最小值为：

3

24 25

=

25

8

，
则△ABC外接圆半径存在最小值，且为

25

8

，故④正确；
对于⑤，设三角形的内切圆的半径为r，则由三角形的面积为

1

2

r（|AB|+|AC|+|BC|）=8r，
则由于△ABC面积的最大值为12，则△ABC内切圆半径存在最大值，且为

3

2

，故⑤正确．
故答案为：③④⑤

点评：本题考查圆锥曲线的定义、性质和运用，考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的求值，考查推理能力，属于中档题和易错题．