Question

已知函数f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的最小正周期为2π．
（1）求ω的值；
（2）已知直线x=-

π

4

是函数f（x）图象的一条对称轴，求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用辅助角公式化简函数的解析式为y=

1+a2

sin（ωx+α） （ω＞0），再根据它的最小正周期为2π，求得ω的值．
（2）由直线x=-

π

4

是函数f（x）图象的一条对称轴，可得 sin（-

π

4

）+acos（-

π

4

）=±

1+a2

，求得 a的值，可得函数的最值．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=sinωx+acosωx=

1+a2

sin（ωx+α） （ω＞0），其中，cosα=

1

1+a2

，sinα=

a

1+a2

，
且f（x）的最小正周期为2π，∴

2π

ω

=2π，∴ω=1．
（2）∵已知直线x=-

π

4

是函数f（x）图象的一条对称轴，∴sin（-

π

4

）+acos（-

π

4

）=±

1+a2

，即a²+2a+1=0，
求得 a=-1，故函数的最大值为

1+a2

=

2

，最小值为-

1+a2

=-

2

．

点评：本题主要考查辅助角公式，正弦函数的周期性、对称性、以及最值，属于基础题．