Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点
（Ⅰ）求证：直线BD₁⊥AC；
（Ⅱ）求异面直线BD₁与CE所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）证明AC⊥BD，且AC⊥DD₁，即可证明AC⊥平面BDD₁，从而证明AC⊥BD₁；
（Ⅱ）在平面ABB₁A₁作BF∥CE，得到∠FBD₁为异面直线BD₁与CE所成角，借助于余弦定理求其余弦值．

解答： （I）证明：在正方体ABCD中，连结BD，
∴AC⊥BD，
又∵DD₁⊥平面ABCD，且AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁，
∴AC⊥平面BDD₁，
∵BD₁?平面BDD₁，
∴直线BD₁⊥AC；
（Ⅱ）解：在平面ABB₁A₁作BF∥CE，
则∠FBD₁为异面直线BD₁与CE所成角，
连接FD₁，如图，
设正方体棱长为2，则BF²=5，FD₁²=5，BD₁²=12，
∴cos∠FBD₁=

BF2+BD12-FD12

2×BF×BD1

=

5+5-12

2×5

=-

1

5

，
∴异面直线BD₁与CE所成角的余弦值

1

5

；

点评：本题考查了正方体中的线线关系；关键是熟练正方体的性质以及线面垂直的判定定理．