Question

 一几何体如图所示，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，CB=CD=CF．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCF；
（Ⅱ）若平面AED⊥平面ABCD，证明：平面AED⊥平面BDF．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先证明AC⊥BC，而FC⊥平面ABCD，所以FC⊥BC．从而可证明AC⊥平面BCF．
（Ⅱ）由（Ⅰ）证明可知BD⊥AD，可证BC⊥平面AED，从而可证平面AED⊥平面BDF．

解答： 证明（Ⅰ）因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，
所以∠ADC=∠BDC=120°．
又CB=CD，所以∠CDB=30°，所以∠ADB=90°，即BD⊥AD，于是AC⊥BC．…（4分）
而FC⊥平面ABCD，所以FC⊥BC．
又FC∩BC=C，FC，BC?平面BCF，
所以AC⊥平面BCF．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）证明可知BD⊥AD，
因为平面AED⊥平面ABCD，AD?平面AED，
所以BC⊥平面AED．…（9分）
而BD?平面BDF，
所以平面AED⊥平面BDF．…（12分）

点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．