Question

已知函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”，下列函数中存在“倍值区间”的有

 

．
①f（x）=2x（x∈R）
②f（x）=x²（x≥0）
③f（x）=e^x（x∈R）
④f（x）=lnx（x＞0）

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知可得若函数f（x）存在“倍值区间”，则函数f（x）=2x，在定义域至少存在两个不相等的根，逐一判断四个函数，可得结论．

解答： 解：若函数f（x）存在“倍值区间”，
则函数f（x）=2x，在定义域至少存在两个不相等的根，
对于①，f（x）=2x（x∈R），显然满足条件；
对于②，令f（x）=x²=2x，（x≥0），解得x=0，或x=2，故存在区间[0，2]满足条件，故函数存在“倍值区间”；
对于③，令f（x）=e^x=2x，（x∈R），方程无解，故函数不存在“倍值区间”；
对于④，令f（x）=lnx=2x，（x＞0），方程无解，故函数不存在“倍值区间”；
故答案为：①②

点评：本题考查的知识点是函数图象和性质，其中正确理解函数f（x）存在“倍值区间”的含义，是解答的关键．