Question

定义在R上的函数y=f（x）是减函数，且函数y=f（x-2）的图象关于点（2，0）成中心对称，若m，n满足不等式f（m²-2m）+f（2n-n²）≤0．则当1≤m≤4时，

n

m

的取值范围是（　　）

• A、[-

  1

  4

  ，1）
• B、[-

  1

  4

  ，1]
• C、[-

  1

  2

  ，1）
• D、[-

  1

  2

  ，1]

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件，确定函数的奇偶性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用线性规划的知识即可得到结论．

解答： 解：∵函数y=f（x-2）的图象关于点（2，0）成中心对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称，
即函数f（x）是奇函数，
则不等式f（m²-2m）+f（2n-n²）≤0等价为f（m²-2m）≤-f（2n-n²）=f（-2n+n²），
∵定义在R上的函数y=f（x）是减函数，
∴m²-2m≥n²-2n，即（m-n）（m+n-2）≥0，且1≤m≤4，
作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=

n

m

，则z的几何意义为区域内的动点P（m，n）与原点连线的斜率，
则由图象可知当P位于直线AB上时，直线斜率最大，此时z=1，
当P位于点C时，直线OC的斜率最小，
由

m=4 m+n-2=0

，解得

m=4 n=-2

，
即C（4，-2），此时z的最小值为

-2

4

=-

1

2

，
∴-

1

2

≤

n

m

≤1，
故选：D．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用线性规划以及直线斜率的几何意义是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．