Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a_n+1=2S_n+2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d的等差数列．
（Ⅰ）在数列{d_n}中是否存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p是等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求证：

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

＜

15

16

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）和等比数列的定义即可得出；
（2）利用等差数列的通项公式即可得出；
（I）假设在数列{d_n}中存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p是等差数列）成等比数列，利用等比数列和等差数列的定义及其反证法即可得出；
（II）利用（2）的结论、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）由a_n+1=2S_n+2（n∈N^*）．
可得：a_n=2S_n-1+2（n≥2），
两式相减：a_n+1=3a_n（n≥2）．
又a₂=2a₁+2，
∵数列{a_n}是等比数列，∴a₂=3a₁，解得a₁=2．
∴an=2•3n-1．
（2）由（1）可知a_n=2•3^n-1，an+1=2•3n，
∵a_n+1=a_n+（n+2-1）d，
∴d=

4•3n-1

n+1

．
（I）由（2）可知：d_n=

4•3n-1

n+1

．
假设在数列{d_n}中存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p是等差数列）成等比数列，
则(dk)2=dm•dp，
即：(

4•3k-1

k+1

)2=

4•3m-1

m+1

•

4•3p-1

p+1

，
∴

42•32k-2

(k+1)2

=

16•3m+p-2

(m+1)(p+1)

       （*）  
∵m，k，p成等差数列，∴m+p=2k，
∴（k+1）²=（m+1）（p+1），展开为k²+2k+1=mp+（m+p）+1，
∴k²=mp，故k=m=p，这与题设矛盾．
∴在数列{d_n}中不存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p是等差数列）成等比数列．
（II）令T_n=

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

=

2

4•30

+

3

4•31

+

4

4•32

+…+

n+1

4•3n-1

，

1

3

Tn=

2

4•31

+

3

4•32

+

4

4•33

+…+

n+1

4•3n

，
两式相减：

2

3

Tn=

2

4•30

+

1

4•31

+

1

4•32

+…+

1

4•3n-1

-

n+1

4•3n

=

1

2

+

1

4

•

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+1

4•3n

=

5

8

-

2n+5

8•3n

，
∴T_n=

15

16

-

3(2n+5)

16•3n

＜

15

16

．

点评：本题考查了数列递推式及利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求熟练的通项公式、等比数列与等差数列的定义及其通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、反证法即等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．