Question

已知定义域为R的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+4），且函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，如果x₁＜2＜x₂，且x₁+x₂＜4，则f（x₁）+f（x₂）的值（　　）

• A、恒小于0
• B、恒大于0
• C、可能为0
• D、可正可负

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：首先根据条件f（-x）=-f（x+4）转化为f（4-x）=-f（x），再根据函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，将x₁转换为4-x₁，从而4-x₁，x₂都在（2，+∞）的单调区间内，由单调性得到它们的函数值的大小，再由条件即可判断f（x₁）+f（x₂）的值的符号．

解答： 解：定义域为R的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+4），
将x换为-x，有f（4-x）=-f（x），
∵x₁＜2＜x₂，且x₁+x₂＜4，
∴4-x₁＞x₂＞2，
∵函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，
∴f（4-x₁）＞f（x₂），
∵f（4-x）=-f（x），
∴f（4-x₁）=-f（x₁），即-f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x₁）+f（x₂）＜0，
故选：A．

点评：本题主要考查函数的单调性及应用，运用条件，正确理解函数单调性的定义，特别是单调区间，是解决此类问题的关键．