题目内容
设无穷数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn（n∈N*），且3tSn-（2t+3）Sn-1=3t（n∈N*，n≥2）（t是与n无关的正实数）
（1）求证：数列{an}（n∈N*）为等比数列；
（2）记数列{an}的公比为f（t），数列{bn}满足b1=1，bn=f（
）（n∈N*，n≥2），设cn=b2n-1b2n-b2nb2n+1，求数列{cn}的前n项和Tn．
（3）若（2）中数列{cn}的前n项和Tn，当n∈N*时，不等式Tn≤a恒成立，求实数a的取值范围．
（1）求证：数列{an}（n∈N*）为等比数列；
（2）记数列{an}的公比为f（t），数列{bn}满足b1=1，bn=f（
| 1 |
| bn-1 |
（3）若（2）中数列{cn}的前n项和Tn，当n∈N*时，不等式Tn≤a恒成立，求实数a的取值范围．
考点：数列与不等式的综合
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）当n≥2时，3tSn-（2t+3）Sn-1=3t，3tSn+1-（2t+3）Sn=3t，两式相减可得数列{an}是等比数列；
（2）利用（1）可得f（t），进而得到数列{bn}是等差数列，数列{cn}也是等差数列，即可得出前n项和Tn；
（3）利用（2）和二次函数的单调性即可得出．
（2）利用（1）可得f（t），进而得到数列{bn}是等差数列，数列{cn}也是等差数列，即可得出前n项和Tn；
（3）利用（2）和二次函数的单调性即可得出．
解答：
（1）证明：当n≥2时，3tSn-（2t+3）Sn-1=3t，3tSn+1-（2t+3）Sn=3t，
∴3tan+1-（2t+3）an=0，
∵t＞0且是常数，∴
=
，
∴数列{an}（n∈N*）是公比为
的等比数列；
（2）解：由（1）可知：f（t）=
=
+
（t＞0）．
∵数列{bn}满足b1=1，bn=f（
），
∴bn=bn-1+
（n≥2），
∴数列{bn}是公差为
的等差数列，
∴bn=1+
(n-1)=
．
∴cn=b2n-1b2n-b2nb2n+1=
×
-
×
=-
n-
．
∴数列{cn}是等差数列，公差为-
，首项为-
．
∴Tn=-
n+
×(-
)=-
n2-
．
（3）∵当n∈N*时，不等式Tn≤a恒成立，
∴a≥（Tn）max，对?n∈N*，
而Tn=-
n2-
≤T1=-
-
=-
．
∴a≥-
．
即实数a的取值范围是[-
，+∞)．
∴3tan+1-（2t+3）an=0，
∵t＞0且是常数，∴
| an+1 |
| an |
| 2t+3 |
| 3t |
∴数列{an}（n∈N*）是公比为
| 2t+3 |
| 3t |
（2）解：由（1）可知：f（t）=
| 2t+3 |
| 3t |
| 1 |
| t |
| 2 |
| 3 |
∵数列{bn}满足b1=1，bn=f（
| 1 |
| bn-1 |
∴bn=bn-1+
| 2 |
| 3 |
∴数列{bn}是公差为
| 2 |
| 3 |
∴bn=1+
| 2 |
| 3 |
| 2n+1 |
| 3 |
∴cn=b2n-1b2n-b2nb2n+1=
| 4n-1 |
| 3 |
| 4n+1 |
| 3 |
| 4n+1 |
| 3 |
| 4n+3 |
| 3 |
| 16 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
∴数列{cn}是等差数列，公差为-
| 16 |
| 9 |
| 20 |
| 9 |
∴Tn=-
| 20 |
| 9 |
| n(n-1) |
| 2 |
| 16 |
| 9 |
| 8 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
（3）∵当n∈N*时，不等式Tn≤a恒成立，
∴a≥（Tn）max，对?n∈N*，
而Tn=-
| 8 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
| 20 |
| 9 |
∴a≥-
| 20 |
| 9 |
即实数a的取值范围是[-
| 20 |
| 9 |
点评：本题综合考查了数列的递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、二次函数的单调性、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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定义在R上的函数y=f（x）是减函数，且函数y=f（x-2）的图象关于点（2，0）成中心对称，若m，n满足不等式f（m2-2m）+f（2n-n2）≤0．则当1≤m≤4时，
的取值范围是（ ）
| n |
| m |
A、[-
| ||
B、[-
| ||
C、[-
| ||
D、[-
|
若|
|=2|
|≠0，
⊥
，
=
+
，则
与
的夹角为（ ）
| b |
| a |
| c |
| a |
| c |
| a |
| b |
| a |
| b |
| A、30° | B、60° |
| C、90° | D、120° |