Question

已知f₁（x）=sinx+cosx，f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x）…f_n（x）=f_n-1′（x）（n∈N⁺，n≥2），记f₁（

π

2

）+f₂（

π

2

）+…+f₂₀₁₃（

π

2

）等于（　　）

• A、1
• B、-1
• C、0
• D、-2

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：利用导数的运算法则，通过计算即可得出其周期性f_n+4（x）=f_n（x）进而即可得出答案．

解答： 解：∵f₁（x）=sinx+cosx，f_n+1（x）是f_n（x）的导函数，
∴f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，f₃（x）=f₂′（x）=-sinx-cosx，f₄（x）=-cosx+sinx，f₅（x）=sinx+cosx，…，
∴f_n+4（x）=f_n（x），
∴f₂₀₁₃（x）=f_503×4+1（x）=f₁（x）=sinx+cosx．
∴f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=sinx+cosx+cosx-sinx-sinx-cosx-cosx+sinx=0，
∴f₁（

π

2

）+f₂（

π

2

）+…+f₂₀₁₃（

π

2

）=f₁（

π

2

）=sin

π

2

+cos

π

2

=1．
故选：A．

点评：熟练掌握导数的运算法则及得出其周期性f_n+4（x）=f_n（x）是解题的关键．