Question

设定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，f′（x）＞

1

3

，其中f′（x）是f（x）的导函数，则不等式
f（x³）＜

1

3

x³+

2

3

的解集为

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：确定函数g（x）=f（x）-

1

3

x在R上是增函数，不等式f（x³）＜

1

3

x³+

2

3

，转化为g（x³）＜g（1），即可得出结论．

解答： 解：∵f′（x）＞

1

3

，
∴[f（x）-

1

3

x]′＞0，
∴函数g（x）=f（x）-

1

3

x在R上是增函数，
∴g（x³）=f（x³）-

1

3

x³；
∵不等式f（x³）＜

1

3

x³+

2

3

，
∴g（x³）＜

2

3

，
∵f（1）=1，g（1）=f（1）-

1

3

=

2

3

，
∴g（x³）＜g（1），
∴x³＜1，
∴x＜1，
∴则不等式f（x³）＜

1

3

x³+

2

3

的解集为（-∞，1）．
故答案为：（-∞，1）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构建函数是关键．