Question

如图，设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过准线l上一点M（-1，0）且斜率为k的直线l₁交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为P，直线PF交抛物线C于D，E两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在k值，使点P是线段DE的中点？若存在，求出k值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得-

p

2

=-1，由此能求出抛物线方程．设l₁的方程为y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），由

y=k(x+1) y2=4x

，得ky²-4y+4k=0，由此利用根的判别式能求出k的取值范围．
（Ⅱ）不存在k值，使点P是线段DE的中点．由（Ⅰ）得ky²-4y+4k=0，直线PF的方程为y=

k

1-k2

(x-1)，由

y= k 1-k2 (x-1) y2=4x

，得ky²-4（1-k²）y-4k=0，由此能推导出不存在k值，使点P是线段DE的中点．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知得-

p

2

=-1，∴p=2．
∴抛物线方程为y²=4x．…（2分）
设l₁的方程为y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），
由

y=k(x+1) y2=4x

，得ky²-4y+4k=0．…（4分）
△=16-16k²＞0，解得-1＜k＜1，注意到k=0不符合题意，
∴k∈（-1，0）∪（0，1）．…（5分）
（Ⅱ）不存在k值，使点P是线段DE的中点．理由如下：…（6分）
由（Ⅰ）得ky²-4y+4k=0，
∴y₁+y₂=

4

k

，∴x1+x2 =

4

k2

-2，P（

2

k2

-1，

2

k

），
直线PF的方程为y=

k

1-k2

(x-1)．…（8分）
由

y= k 1-k2 (x-1) y2=4x

，得ky²-4（1-k²）y-4k=0，
y3+y4=

4(1-k2)

k

．…（10分）
当点P为线段DE的中点时，有

y1+y2

2

=

y3+y4

2

，
即

2

k

=

2(1-k2)

k

，
∵k≠0，∴此方程无实数根．
∴不存在k值，使点P是线段DE的中点． …（12分）

点评：本题考查抛物线C的方程及k的取值范围的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．