Question

在平面直角坐标系中，第一象限有系列圆O_n（n∈N^*），所有圆均与x轴和直线

3

x-y=0相切，且任何相邻两圆外切：圆O_n的半径为r_n，其中r_n＞r_n+1＞0，若圆O₁的半径为r₁=1，则r_n等于

 

．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：由题意画出图形，利用三角形相似对应边成比例得到r_n与r_n+1的关系，进一步得到数列{r_n}构成以1为首项，以

1

3

为公比的等比数列，则r_n可求．

解答： 解：如图，

由相似三角形对应边成比例得，

rn

rn+1

=

2rn

rn-rn+1

，即3r_n+1=r_n，
∵r₁=1≠0，
∴

rn+1

rn

=

1

3

，
则数列{r_n}构成以1为首项，以

1

3

为公比的等比数列．
∴rn=(

1

3

)n-1．
故答案为：(

1

3

)n-1（n∈N^*）．

点评：本题考查了圆的切线方程，考查了等比数列的通项公式，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．