Question

已知函数f（x）=ln（

x2+1

-x）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）判断函数f（x）的单调性；
（4）解不等式f（x）＜0．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的定义域及其求法,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）的解析式可得

x2+1

-x＞0，解得x的范围，可得函数的定义域为．
（2）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=ln（

x2+1

+x）=-f（x），故函数f（x）为奇函数．
（3）令h（x）=

x2+1

-x，则f（x）=lnh（x）．根据h（x）的单调性可得f（x）的单调性．
（4）根据f（x）＜0，f（x）在定义域R上是减函数，求得x的范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ln（

x2+1

-x），
∴

x2+1

-x＞0，解得x∈R，
故函数的定义域为R．
（2）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=ln（

x2+1

+x）
=ln（

1

x2+1 -x

）=-ln（

x2+1

-x）=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（3）令h（x）=

x2+1

-x，则f（x）=lnh（x）．
由于h（x）=

x2+1

-x=

1

x2+1 +x

 在[0，+∞）上是减函数，
故f（x）=lnh（x）在[0，+∞）上是减函数．
再根据奇函数的性质可得，f（x）=lnh（x）在（-∞，0））上也是减函数．
再根据f（0）=0，可得f（x）在定义域R上是减函数．
（4）∵f（x）＜0，f（x）在定义域R上是减函数，
∴x＞0，
故不等式的解集为（0，+∞）．

点评：本题主要考查求函数的定义域，函数的单调性的判断和证明，属于中档题．