Question

已知函数f(x)=a+

2x

2x+1

(a∈R)是定义在R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）解关于x的不等式f（x²-tx）＞f（2x-2t）（其中t∈R）．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程，即可求实数a的值；
（2）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可．

解答： 解：（1）∵f(x)=a+

2x

2x+1

(a∈R)是定义在R上的奇函数，
∴f（x）+f（-x）=0在R上恒成立．
∴f(x)+f(-x)=a+

2x

2x+1

+a+

2-x

2-x+1

=2a+

2x

2x+1

+

1

2x+1

=2a+1=0，
∴a=-

1

2

．
（2）∵f(x)=-

1

2

+

2x

2x+1

=

1

2

-

1

2x+1

在R上单调递增，
∴不等式f（x²-tx）＞f（2x-2t）等价为x²-tx＞2x-2t，
即x²-（t+2）x+2t＞0，
∴（x-t）（x-2）＞0，
①当t＞2时，x＞t或x＜2；
②当t＜2时，x＞2或x＜t；
③当t=2时，x≠2．
即不等式的解集为：当t＞2时，{x|x＞t或x＜2}；
当t＜2时，{x|x＞2或x＜t}；
当t=2时，{x|x≠2}．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及利用函数的单调性解不等式，考查学生的转化意识．