Question

15．已知向量$\overrightarrow a=（{2cosα，{{sin}^2}α}），\overrightarrow b=（{2sinα，t}），α∈（{0，\frac{π}{2}}），t$为实数．
（1）若$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（{\frac{2}{5}，0}）$，求t的值；
（2）若t=1，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$，求$tan（{2α+\frac{π}{4}}）$的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量的加减运算和同角的平方关系，即可求得sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$，进而得到t的值；
（2）运用向量的数量积的坐标表示，结合条件的商数关系，求得tanα，再由二倍角的正切公式和和角公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a=（{2cosα，{{sin}^2}α}），\overrightarrow b=（{2sinα，t}），α∈（{0，\frac{π}{2}}），t$为实数，
若$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（{\frac{2}{5}，0}）$，则（2cosα-2sinα，sin²α-t）=（$\frac{2}{5}$，0），
可得cosα-sinα=$\frac{1}{5}$，平方可得sin²α+cos²α-2cosαsinα=$\frac{1}{25}$，
即为2cosαsinα=1-$\frac{1}{25}$=$\frac{24}{25}$，（cosα＞0，sinα＞0），
由sin²α+cos²α=1，解得cosα+sinα=$\sqrt{（cosα-sinα）^{2}+4sinαcosα}$=$\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{48}{25}}$=$\frac{7}{5}$，
即有sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$．
则t=sin²α=$\frac{9}{25}$；
（2）若t=1，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$，即有4cosαsinα+sin²α=1，
即有4cosαsinα=1-sin²α=cos²α，
由α为锐角，可得cosα∈（0，1），即有tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{4}$，
则tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{8}{15}$，
$tan（{2α+\frac{π}{4}}）$=$\frac{tan2α+1}{1-tan2α}$=$\frac{1+\frac{8}{15}}{1-\frac{8}{15}}$=$\frac{23}{7}$．

点评 本题考查向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查同角的基本关系式和二倍角正切公式及和角公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．