Question

5．已知函数f（x）=lnx-a（a∈R）与函数F（x）=x+$\frac{2}{x}$的图象没有交点．
（1）求a的取值范围；
（2）若不等式xf（x）+e＞2-a对于x＞0的一切值恒成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论f（x）和F（x）的单调性，得到F（x）的最小值，问题转化为关于a的不等式，解出即可；
（2）将所要证明的式子变形，建立一个函数，求导后再建立一个新的函数，再求导．需要用到两次求导．再来通过最值确定正负号，再来确实原函数的单调性．

解答 解：（1）由题意得：x＞0，而F（x）的最小值是F（$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$，
而f（x）=lnx-a在（0，+∞）递增，
故只需f（$\sqrt{2}$）＜2$\sqrt{2}$即可，
即ln$\sqrt{2}$-a＜2$\sqrt{2}$，
解得：a＞ln$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$；
若函数f（x）=lnx-a（a∈R）与函数F（x）=x+$\frac{2}{x}$的图象没有交点，
（2）原式等价于xlnx+a+e-2-ax≥0在（0，+∞）上恒成立．
令g（x）=xlnx+a+e-2-ax．
∵g′（x）=lnx+1-a
令g′（x）=0，得x=e^a-1
①0＜x＜e^a-1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减
②e^a-1＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增
∴g（x）的最小值为g（e^a-1）=（a-1）e^a-1+a+e-2-ae^a-1=a+e-2-e^a-1．
令t（x）=x+e-2-e^a-1．∵t′（x）=1-e^a-1．
令t′（x）=0．得x=1．且
③0＜x＜1时，t′（x）＞0，t（x）单调递增
④1＜x时，t′（x）＜0，t（x）单调递减
∴当a∈（0，1）时，g（x）的最小值t（a）＞t（0）=e-2-$\frac{1}{e}$=$\frac{e（e-2）-1}{e}$＞0．
当a∈[1，+∞）时，g（x）的最小值为t（a）=a+e-2-e^a-1≥0=t（2）．
∴a∈[1，2]．
综上得：a∈（0，2]．

点评 本题主要考查函数求导来寻找单调区间及最值．尤其是第二问需要对函数求导后再建立一个新的函数求导，这也是一个常见类型．