Question

已知函数f（x）=2sinx+1，是否存在实数a，使得函数y=（f（x）-1）²+2af（

π

2

-x）+

a

2

-6在区间[0，

π

2

]上的最大值是4？若存在，求出对应的a的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：存在型,分类讨论,三角函数的图像与性质

分析：假设存在实数a，然后应用同角三角函数的关系式和诱导公式对函数解析式化简整理，进而利用x的范围确定cosx的范围，根据二次函数的性质对a的范围进行分类讨论，求得函数的最大值，解出a，判断是否存在．

解答： 解：假设存在实数a，使得函数y=（f（x）-1）²+2af（

π

2

-x）+

a

2

-6
在区间[0，

π

2

]上的最大值是4，
则y=4sin²x+2a（2sin（

π

2

-x）+1）+

a

2

-6
即y=4sin²x+4acosx+

5a

2

-6=-4（cos²x-acosx）+

5a

2

-2
=-4（cosx-

a

2

）²+a²+

5a

2

-2，
令cosx=t，则y=-4（t-

a

2

）²+a²+

5a

2

-2，
∵0≤x≤

π

2

，∴0≤cosx≤1，即0≤t≤1，
当0≤

a

2

≤1时，即0≤a≤2，t=

a

2

时，y取最大值a²+

5a

2

-2，且为4，解得a=

3

2

或-4（舍去）；
当

a

2

＞1时，即a＞2，t=1时，y取最大值

13a

2

-6，且为4，解得a=

20

13

，不符要求，舍去；
当

a

2

＜0时，即a＜0，t=0时，y取最大值

5a

2

-2，且为4，解得a=

12

5

，不符要求，舍去．
故存在实数a，且为

3

2

，使得函数y=（f（x）-1）²+2af（

π

2

-x）+

a

2

-6在区间[0，

π

2

]上的最大值是4．

点评：本题主要考查三角函数的最值问题，考查二次函数型的最值问题，是动轴定区间，注意对动轴的讨论，同时考查三角函数的恒等变换应用．