Question

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=

2

，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°．
（Ⅰ）证明：M是侧棱SC的中点；
（Ⅱ）求二面角S-AM-B的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱锥的结构特征

专题：空间角

分析：（Ⅰ）作ME∥CD交SD于点E，连结AE，作MF⊥AB，垂足为F，则AFME为矩形，由此利用已知条件能推导出M为侧棱SC的中点．
（Ⅱ）由已知条件推导出△ABM为等边三角形．取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，能求出∠BGH为二面角S-AM-B的平面角，由此能求出二面角S-AM-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：作ME∥CD交SD于点E，则ME∥AB，ME⊥平面SAD，
连结AE，则四边形ABME为直角梯形，
作MF⊥AB，垂足为F，则AFME为矩形，
设ME=x，则SE=x，AE=

ED2+AD2

=

(2-x)2+2

，
MF=AE=

(2-x)2+2

，FB=2-x，
由MF=FB•tan 60°，得

(2-x)2+2

=

3

(2-x)，
解得x=1，即ME=1，
从而ME=

1

2

DC，
∴M为侧棱SC的中点．
（Ⅱ）解：MB=

BC2+MC2

=2，
又∠ABM=60°，AB=2，∴△ABM为等边三角形．
又由（Ⅰ）知M为SC中点，SM=

2

，SA=

6

，AM=2，
∴SA²=SM²+AM²，∠SMA=90°，
取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，
则BG⊥AM，GH⊥AM，
由此知∠BGH为二面角S-AM-B的平面角，
连结BH，在△BGH中，
BG=

3

2

AM=

3

，GH=

1

2

SM=

2

2

，BH=

AB2+AH2

=

22

2

，
∴cos∠BGH=

BG2+GH2-BH2

2BG•GH

=-

6

3

．
∴二面角S-AM-B的余弦值为-

6

3

．

点评：本题考查点为线段中点的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．