Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，其中AB⊥AD，DC⊥AD，AB=AD=2，DC=1．侧面正△PAD所在平面与底面垂直．
（1）求证：AC⊥PB．
（2）在棱PB上取一点E，使直线PD∥平面ACE．
①求

PE

EB

的值；
②求证：二面角P-AC-D与E-AC-B大小相等．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）取AD中点O，由已知条件得PO⊥AD，PO⊥平面ABCD，连结OB，设OB∩AC=H，由已知条件推导出△BAO≌△ADC，由此能够证明AC⊥PB．
（Ⅱ）①连结BD交AC于F，连结EF，由已知条件推导出PD∥EF，由此能求出

PE

EB

的值．
②由已知条件推导出∠PHO，∠EHB分别是二面角P-AC-D与E-AC-B的平面角，由此能证明二面角P-AC-D与E-AC-B大小相等．

解答： （1）证明：取AD中点O，则PO⊥AD，
由平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，
连结OB，设OB∩AC=H，
∵AB=AD=2，DC=1，O是AD中点，AB⊥AD，DC⊥AD，
∴△BAO≌△ADC，
∴∠CAD=∠OBA，
∴∠CAD+∠AOB=∠OBA+∠AOB=90°，
∴∠AHO=90°，∴CA⊥PO，
∴CA⊥平面POB，
∴AC⊥PB．
（Ⅱ）①解：连结BD交AC于F，连结EF，
则EF是平面PBD与平面ACE的交线，
∵直线PD∥平面ACE，
∴PD∥EF，
∴

PE

EB

=

DF

FB

=

DC

AB

=

1

2

．
②证明：∵CA⊥面POB，
∴∠PHO，∠EHB分别是二面角P-AC-D与E-AC-B的平面角，
作EG⊥OB于G，在Rt△OAB中，

OH

HB

=

AO2

AB2

=

1

4

，
∴OH=

1

5

OB，HB=

4

5

OB，
又GB=

2

3

OB，
∴HG=HB-GB=

2

15

OB，
∴

HG

OH

=

2 15 OB

1 5 OB

=

2

3

=

EG

PO

，
∴tan∠PHO=tan∠EHG，
∴二面角P-AC-D与E-AC-B大小相等．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查两条线段的比值的求法，考查两二面角相等的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．