Question

已知函数f（x）=2^x-1的反函数为y=f^-1（x），记g（x）=f^-1（x-1）．
（1）求函数y=2f^-1（x）-g（x）的最小值；
（2）若函数F（x）=2f^-1（x+m）-g（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数单调性的判断与证明

专题：转化思想,函数的性质及应用

分析：（1）求出原函数的反函数，然后推出函数y=2f^-1（x）-g（x）的表达式，即可求解其最小值；
（2）利用（1）函数的解析式，通过化简表达式，利用函数F（x）=2f^-1（x+m）-g（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，转化不等式，然后求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）由f（x）=2^x-1得x=log₂（y+1），即f^-1（x）=log₂（x+1）（x＞-1）
g（x）=f^-1（x-1）=log₂x，（x＞0）
∴函数y=2f^-1（x）-g（x）=2log₂（x+1）-log₂x=log2

(x+1)2

x

=log2

x2+2x+1

x

=log2(x+

1

x

+2)，
∵x＞0，∴x+

1

x

+2≥4，当且仅当x=1时取等号，
∴函数y=2f^-1（x）-g（x）的最小值为：log₂4=2．
（2）由f^-1（x）=log₂（x+1）（x＞-1）得，
函数F（x）=2f^-1（x+m）-g（x）=2log₂（x+m+1）-log₂x…（8分）
∴F（x）=log2

(x+m+1)2

x

=log2[x+

(m+1)2

x

+2(m+1)]，
在区间[1，+∞）上是单调递增函数需满足：当x≥1时，x+m+1＞0，即m＞-2…（10分）
[|m+1|，+∞）⊆[1，+∞）…（12分），
即|m+1|≤1?-2≤m≤0，…（13分），
∴-2＜m≤0…（14分）

点评：本题考查函数恒成立问题，反函数以及对数函数基本不等式以及函数单调性的应用，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．