Question

三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．
（1）证明：平面GFE∥平面PCB；
（2）求二面角B-AP-C的正切值；
（3）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出EF∥BC，GF∥CP，从而得到EF∥平面PCB，GF∥平面PCB，由此能证明平面GFE∥平面PCB．
（2）过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H，连接HB，由已知条件推导出∠BHC是二面角B-AP-C的平面角，由此能求出二面角B-AP-C的正切值．
（3）设PB的中点为K，连接KC，AK，由已知条件推导出KC⊥PB，AK⊥PB，从而得到平面AKC⊥平面PAB．在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M，则∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角，由此能求出直线PF与平面PAB所成的角的正弦值．

解答： （1）证明：因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，
所以EF∥BC，GF∥CP．
因为EF?平面PCB，GF?平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB．
又EF∩GF=F，所以平面GFE∥平面PCB．
（2）解：过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H，连接HB．
因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，
所以BC⊥平面PAC，所以HB⊥PA，
所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角．
因为BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．
所以CH=

2

5

，所以tan∠BHC=

1

2 5

=

5

2

，
所以二面角B-AP-C的正切值是

5

2

．
（3）解：如图，设PB的中点为K，连接KC，AK，
因为△PCB为等腰直角三角形，所以KC⊥PB，
又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，
所以AC⊥平面PCB，所以AK⊥PB，
又因为AK∩KC=K，所以PB⊥平面AKC，
又PB?平面PAB，所以平面AKC⊥平面PAB．
在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M．
因为平面AKC⊥平面PAB，所以FM⊥平面PAB，连接PM，
则∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角．
由题意PF=

2

，FM=

1

3

，所以sin∠MPF=

1 3

2

=

2

6

．
即直线PF与平面PAB所成的角的正弦值是

2

6

．

点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．