Question

设函数f（x），g（x）的定义域分别为F，G，且F?G．若对任意的x∈F，都有g（x）=f（x），则称g（x）为f（x）在G上的一个“延拓函数”．已知函数f（x）=2^x（x≤0），若g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则函数g（x）的解析式是（　　）

• A、2^|x|
• B、log₂|x|
• C、（

  1

  2

  ）^|x|
• D、log 

  1

  2

  |x|

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,新定义,函数的性质及应用

分析：由题意函数f（x）=2^x（x≤0），g（x）为f（x）在R上一个延拓函数，求出g（x），然后利用偶函数推出函数g（x）的解析式．

解答： 解：f（x）=2^x（x≤0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，
则有x∈（-∞，0]有g（x）=f（x）=2^x
g（x）是偶函数 有x＞0 可得g（x）=g（-x）=2^（-x）
所以g（x）=2^x （x≤0）
g（x）=2^（-x） （x＞0）
所以g（x）=（

1

2

）^|x|
故选C．

点评：本题考查求指数函数解析式，奇函数的性质，考查计算能力，推理能力，是中档题和创新题型．