Question

已知函数f（x）=1-

2

3x+1

．
（1）求函数f（x）的定义域，判断并证明f（x）的奇偶性．
（2）用单调性定义证明函数f（x）在其定义域上是增函数；
（3）解不等式f（3m+1）+f（2m-3）＜0．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）的解析式可得函数的定义域为R，再根据f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（2）证明：设x₂＞x₁，化简 f（x₂）-f（x₁）=（1-

2

1+3x2

）-（1-

2

1+3x1

）=2•

3x2-3x1

(1+3x1)(1+3x2)

＞0，即f（x₂）＞f（x₁），可得函数f（x）在其定义域上是增函数．
（3）不等式即f（3m+1）＜f（3-2m），利用f（x）的单调性可得 3m+1＜3-2m，由此求得不等式的解集．

解答： 解：（1）由函数f（x）=1-

2

3x+1

，可得x∈R，即函数的定义域为R．
再根据f（-x）=1-

2

3-x+1

=1-2•

3x

1+3x

=1-

2(3x+1)-2

1+3x

=1-2+

2

1+3x

=-（1-

2

3x+1

）=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（2）证明：设x₂＞x₁，则 f（x₂）-f（x₁）=（1-

2

1+3x2

）-（1-

2

1+3x1

）=2•

3x2-3x1

(1+3x1)(1+3x2)

，
由题设可得3x2-3x1＞0，（1+3x1）＞0，（1+3x2）＞0，∴2•

3x2-3x1

(1+3x1)(1+3x2)

＞0，即  f（x₂）＞f（x₁），
故函数f（x）在其定义域上是增函数．
（3）不等式f（3m+1）+f（2m-3）＜0，即f（3m+1）＜-f（2m-3）=f（3-2m），∴3m+1＜3-2m，
求得m＜

2

5

，即不等式的解集为（-∞，

2

5

）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断和证明，利用奇偶性和单调性解不等式，属于基础题．