Question

若函数f（x）在R上是奇函数，且在（-1，0）上单调递增，且f（x+2）=-f（x）．
（1）证明：f（x）的图象关于点（2k，0）中心对称，以及关于直线x=2k+1对称；
（2）讨论f（x）在区间（1，2）上的单调性．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x+2）=-f（x）先求出函数的周期，再由奇函数的性质和f（x+2）=-f（x）得，函数的对称轴方程，再由f（x+2）=-f（x）和奇函数的周期知，函数关于（2k，0）（k∈Z）对称；
（2）根据条件和奇函数的单调性先得到函数在（0，1）上的单调性，再根据对称轴方程判断出在区间（1，2）上的单调性．

解答： 证明：（1）由题意得，则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
所以函数是以4为周期的周期函数，
因为f（x）为定义域为R的奇函数，f（x+2）=-f（x），
所以f（x+2）=f（-x），则f（x+4k+2）=f（-x），
所以函数f（x）的图象关于直线x=2k+1（k∈Z）对称，
因为f（x）为定义域为R的奇函数，
所以f（x）函数图象关于原点对称，
因为f（x）为周期函数，周期为4，且f（x+2）=-f（x），
所以f（x）函数图象关于点（2k，0）（k∈Z）对称；
（2）解：因为f（x）在R上是奇函数，且在（-1，0）上单调递增，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，
由（1）知，函数f（x）的图象关于直线x=2k+1（k∈Z）对称，
所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
则f（x）在区间（1，2）上的单调递减．

点评：本题考查了函数奇偶性、周期性、对称性和单调性的综合应用，关键是熟练掌握函数奇偶性、周期性、对称性的定义、性质，以及利用赋值法对等式进行灵活变形．