Question

已知函数f（x）=sin2x-2sin²x
（1）求函数f（x）的最小正周期．
（2）求函数单调递增区间．
（3）求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先通过恒等变换把函数变换成正弦型函数，进一步求出最小正周期．
（2）利用整体思想求出单调增区间．
（3）利用整体死刑进一步求出函数的最值．

解答： 解：（1）函数f（x）=sin2x-2sin²x=sin2x+cos2x-1=

2

sin(2x+

π

4

)-1
则：T=π
（2）函数f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)-1
则函数的单调递增区间：令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z）
故单调递增区间为：[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）
（3）当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

时，即：x=kπ+

π

8

时，f(x)max=

2

+1
当2x+

π

4

=2kπ-

π

2

时，即：x=kπ-

3π

8

时，f(x)min=-

2

+1
故答案为：（1）T=π
（2）故单调递增区间为：[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）
（3）当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

时，即：x=kπ+

π

8

时，f(x)max=

2

+1
当2x+

π

4

=2kπ-

π

2

时，即：x=kπ-

3π

8

时，f(x)min=-

2

+1

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，正弦型函数的单调区间及最值