题目内容
已知抛物线y2=8x的焦点为椭圆
+
=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为4
，左右顶点分别为A，B，经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C、D两点．
（1）求椭圆标准方程：
（2）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，且|S1-S2|=4，求直线l方程；
（3）椭圆的上顶点G作直线m、n，使m⊥n，直线m、n分别交椭圆于点P、Q．问：PQ是否过一定点，若是求出该点的坐标；若不是，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
（1）求椭圆标准方程：
（2）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，且|S1-S2|=4，求直线l方程；
（3）椭圆的上顶点G作直线m、n，使m⊥n，直线m、n分别交椭圆于点P、Q．问：PQ是否过一定点，若是求出该点的坐标；若不是，请说明理由．
考点：抛物线的简单性质
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用抛物线y2=8x，可得焦点坐标，从而椭圆中的c=2，又椭圆的a=2
，即可求椭圆标准方程：
（2）设直线l：x=my-2，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合|S1-S2|=2，即可求直线l方程；
（3）设直线m：y=kx+2，代入椭圆方程，求出P的坐标，同理可得Q的坐标，求出直线PQ的方程，即可得出结论．
| 2 |
（2）设直线l：x=my-2，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合|S1-S2|=2，即可求直线l方程；
（3）设直线m：y=kx+2，代入椭圆方程，求出P的坐标，同理可得Q的坐标，求出直线PQ的方程，即可得出结论．
解答：
解：（1）由题设可知抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）
故椭圆中的c=2，又椭圆的a=2
，
所以b2=a2-c2=4
故椭圆标准方程为：
+
=1…（4分）
（2）由题意可设直线l：x=my-2，代入椭圆方程得（m2+2）y2-4my-4=0
设C（x1，y1），D（x2，y2），A（-2
，0），B（2
，0）
则y1+y2=
，…（6分）
于是|S1-S2|=
×4
×|y1+y2|=2
|
|=4
解得m=±
，故直线l的方程为x±
y+2=0． …（8分）
（3）易知G（0，2），直线m、n的斜率显然存在，设直线m：y=kx+2，代入椭圆方程得x2+2（kx+2）2=8，即（2k2+1）x2+8kx=0，
解得P(-
，
)．
同理，直线n的方程为y=-
x+2，Q(
，
)．…（10分）
故直线PQ的方程为y-
=
(x+
)，…（12分）
即y=
x-
所以，直线PQ经过定点(0 ， -
)． …（14分）
故椭圆中的c=2，又椭圆的a=2
| 2 |
所以b2=a2-c2=4
故椭圆标准方程为：
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（2）由题意可设直线l：x=my-2，代入椭圆方程得（m2+2）y2-4my-4=0
设C（x1，y1），D（x2，y2），A（-2
| 2 |
| 2 |
则y1+y2=
| 4m |
| m2+2 |
于是|S1-S2|=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 4m |
| m2+2 |
解得m=±
| 2 |
| 2 |
（3）易知G（0，2），直线m、n的斜率显然存在，设直线m：y=kx+2，代入椭圆方程得x2+2（kx+2）2=8，即（2k2+1）x2+8kx=0，
解得P(-
| 8k |
| 1+2k2 |
| 2-4k2 |
| 1+2k2 |
同理，直线n的方程为y=-
| 1 |
| k |
| 8k |
| k2+2 |
| 2k2-4 |
| k2+2 |
故直线PQ的方程为y-
| 2-4k2 |
| 1+2k2 |
| k2-1 |
| 3k |
| 8k |
| 1+2k2 |
即y=
| k2-1 |
| 3k |
| 2 |
| 3 |
所以，直线PQ经过定点(0 ， -
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．
练习册系列答案
相关题目
设双曲线C：
-
=1（a＞0，b＞0）的离心率e=
，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 5 |
| 4 |
| A、4x±3y=0 |
| B、3x±4y=0 |
| C、5x±3y=0 |
| D、3x±5y=0 |