Question

已知a=

∫

π 2 0

cosxdx，二项式（2x²+

a

x

）ⁿ的展开式的各项系数和为243
（Ⅰ）求该二项展开式的二项式系数和；
（Ⅱ）求该二项展开式中x⁴项的系数．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（Ⅰ）求定积分可得a=1，二项式(2x2+

a

x

)n，即(2x2+

1

x

)n，令x=1可得它的展开式的各项系数和为243=3ⁿ，求得n的值，可得该二项展开式的二项式系数和2ⁿ的值．
（Ⅱ）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于4，求得r的值，即可求得展开式中的x⁴项的系数．

解答： 解：（Ⅰ）因为 a=

∫

π 2 0

cosxdx=sinx

|

π 2 0

=sin

π

2

-sin0=1，
∴二项式(2x2+

a

x

)n，即(2x2+

1

x

)n，令x=1可得它的展开式的各项系数和为243，
故有3ⁿ=243=3⁵，∴n=5，该二项展开式的二项式系数和2⁵=32．
（Ⅱ）(2x2+

1

x

)5的展开式的通项是Tr+1=

C

r 5

(2x2)5-r(

1

x

)r=

C

r 5

25-rx10-3r(r=0，1，2，3，4，5)．
根据题意，得10-3r=4，求得r=2，
因此，该二项展开式中x⁴项的系数是

C

2 5

25-2=80．

点评：本题主要考查求定积分，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题．