Question

数列{a_n}满足：a_n+1-a_n=2，a₁=1，等比数列{b_n}满足：b₁=a₁，b₄=a₁₄．
（1）求a_n，b_n；   
（2）设C_n=a_nb_n，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列通项公式a_n=2n-1，由此求出等比数列公比q=3，由此能求出bn=3n-1．
（2）由C_n=a_nb_n=（2n-1）•3^n-1，利用错位相减法，能求出{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足：a_n+1-a_n=2，a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=2n-1，
∵等比数列{b_n}满足：b₁=a₁=1，b₄=a₁₄=2×14-1=27，
∴1×q³=27，解得q=3，
∴bn=3n-1．
（2）C_n=a_nb_n=（2n-1）•3^n-1，
∴T_n=1•3⁰+3•3+5•3²+…+（2n-1）•3^n-1，①
3T_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，②
①-②，得：-2T_n=1+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ
=1+2•

3(1-3n-1)

1-3

-（2n-1）•3ⁿ
=-2-（2n-2）•3ⁿ，
∴Tn=1+(n-1)•3n．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．