Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-kx²+2x，x∈R，k∈R．
①若f′（-1）=1，则k的值为-1．
②若函数f（x）在区间（1，2）内存在2个极值点，则k的取值范围是$\sqrt{2}＜k＜\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 ①求出原函数的导函数，再由f′（-1）=1列式求得k值；
②把函数f（x）在区间（1，2）内存在2个极值点，转化为函数f′（x）=x²-2kx+2在区间（1，2）内存在2个零点，即方程x²-2kx+2=0在区间（1，2）内有两个不同根，由一元二次方程根的分布得关于k的不等式组求解．

解答 解：①∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-kx²+2x，
∴f′（x）=x²-2kx+2，
由f′（-1）=（-1）²+2k+2=1，得k=-1；
②∵函数f（x）在区间（1，2）内存在2个极值点，
∴函数f′（x）=x²-2kx+2在区间（1，2）内存在2个零点，
即方程x²-2kx+2=0在区间（1，2）内有两个不同根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4{k}^{2}-8＞0}\\{1＜-\frac{-2k}{2}＜2}\\{{1}^{2}-2k×1+2＞0}\\{{2}^{2}-2k×2+2＞0}\end{array}\right.$，解得：$\sqrt{2}＜k＜\frac{3}{2}$．
故答案为：①-1；②$\sqrt{2}＜k＜\frac{3}{2}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的极值，体现了数学转化思想方法，是中档题．