Question

8．设函数$f（x）=\frac{a}{3}{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+（a+1）x+1$，其中a为实数．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若不等式f'（x）＜-4x+2+a对任意x∈（1，+∞）都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出a的值即可；（Ⅱ）问题转化为$a＜\frac{1-x}{x^2}恒成立$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=ax²-3x+（a+1），
∵f（x）在x=1处取极值，
∴f'（1）=a-3+a+1=0，
解得a=1…（4分）
（Ⅱ）∵f'（x）＜-4x+a+2恒成立，
即ax²-3x+（a+1）＜-4x+2+a，
化简得$a＜\frac{1-x}{x^2}恒成立$，
$a＜\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}$，$令t=\frac{1}{x}（t∈（0，1））$…（8分）
$g（t）={t^2}-t，a＜g{（t）_{min}}=g（\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$，
∴$a的取值范围为（-∞，-\frac{1}{4}）$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．