Question

已知

1

3

≤a≤1，若函数f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的函数表达式；
（2）判断函数g（a）在区间[

1

3

，1]上的单调性，并求出g（a）的最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）明确f（x）=ax²-2x+1的对称轴为x=

1

a

，由

1

3

≤a≤1，知1≤

1

a

≤3，可知f（x）在[1，3]上单调递减，N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．由a的符号进行分类讨论，能求出g（a）的解析式；
（2）根据（1）的解答求g（a）的最值．

解答： 解：f（x）=ax²-2x+1的对称轴为x=

1

a

，
∵

1

3

≤a≤1，∴1≤

1

a

≤3，
∴f（x）在[1，3]上的最小值f（x）_min=N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．
∵f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），
∴①当1≤

1

a

≤2，即

1

2

≤a≤1时，
M（a）=f（3）=9a-5，N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．
g（a）=M（a）-N（a）=9a+

1

a

-6．
②当2＜

1

a

≤3时．即

1

3

≤a＜

1

2

时，
M（a）=f（1）=a-1，N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．
g（a）=M（a）-N（a）=a+

1

a

-2．
∴g（a）=

9a+ 1 a -6， 1 2 ≤a≤1 a+ 1 a -2， 1 3 ≤a＜ 1 2

．
（2）由（1）可知当

1

2

≤a≤1时，g（a）=M（a）-N（a）=9a+

1

a

-6≥0，当且仅当a=

1

3

时取等号，所以它在[

1

2

，1]上单调递增；
当

1

3

≤a＜

1

2

时，g（a）=M（a）-N（a）=a+

1

a

-2≥0，当且仅当a=1时取等号，所以g（a）在[

1

3

，

1

2

]单调递减．
∴g（a）的最小值为g（

1

2

）=9×

1

2

+2-6=

1

2

．

点评：本题考查函数的解析式的求法以及分段函数的最值求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．