Question

已知二次函数f （ x ）=x²+ax（a∈R）．
（1）若函数y=f （sinx+

3

cosx） （x∈R）的最大值为

16

3

，求f（x）的最小值；
（2）当a＞2时，求证：f （sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x）≥1-a．其中x∈R，x≠kπ且x≠kπ+

π

2

（k∈Z）．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域

专题：导数的综合应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用辅助角公式，我们可以确定函数y=f （sinx+

3

cosx）（x∈R）的解析式，进而利用换无法，可将问题转化了一个二次函数在定区间上的最值问题，进而得到答案．
（2）由x∈R，x≠kπ且x≠kπ+

π

2

，利用换元法我们可以将不等与左边对应的函数转化为f（t）=tlog₂t+（1-t）log₂（1-t），进而根据二次函数的性质，判断出其最值，并将问题转化为一个函数恒成立问题，最后得到结论．

解答： （1）解：令t=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)，
∵x∈R，∴-2≤t≤2，----2分
∴y=t2+at=(t+

a

2

)2-

a

4

，
当a＜0时，t=-2时，y最大=4-2a=

16

3

，解得：a=-

2

3

此时f(x)=(x-

1

3

)2-

1

9

，∴f(x)最小值=-

1

9

．--------2分
当a≥0时，t=2时，y最大=4+2a=

16

3

，解得：a=

2

3

此时，f(x)=(x+

1

3

)2-

1

9

，∴f(x)最小值=-

1

9

综合上述，条件满足时，f（x）的最小值为-

1

9

-------2分
（2）证明：∵x∈R，x≠kπ且x≠kπ+

π

2

(k∈Z)，∴sin²x，cos²x∈（0，1）
又sin²x+cos²x=1，故设t=sin²x，则有cos²x=1-t
设f（t）=tlog₂t+（1-t）log₂（1-t）（其中t∈（0，1））------------2分
∴f′(t)=log2t+log2e-log2(1-t)-log2e=log2

t

1-t

----------2分
令f'（t）=0，得t=

1

2

当0＜t＜

1

2

时，f'（t）＜0，∴f（t）在（0，

1

2

）单调递减，
当

1

2

＜t＜1时，f'（t）＞0，∴f（t）在（

1

2

，1）单调递增，
∴t=

1

2

时f（t）取最小值等于f(

1

2

)=

1

2

log2

1

2

+

1

2

log2

1

2

=log2

1

2

=-1，
即有sin2xlog2sin2x+cos2xlog2cos2x≥-1----------3分
当a＞2时，f（x）=x²+ax的对称轴x=-

a

2

＜-1，∴f（x）在（-1，+∞）上单调递增，
∴f(sin2xlog2sin2x+cos2xlog2cos2x)≥f(-1)=1-a-------2分．

点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，不等式的综合，三角函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．