Question

已知函数f（x）=lnx+ax²-3x，且在x=1时函数取得极值．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若g（x）=x²-2x-1（x＞0），
（Ⅰ）证明：当x＞1时，g（x）的图象恒在f（x）的上方．
（Ⅱ）证明不等式（2n-1）²＞8ln（1×2×3×…×n）（n∈N^*）恒成立．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，利用在x=1时函数取得极值，求出a的值，可得函数f（x）的单调增区间；
（2）（Ⅰ）设h（x）=g（x）-f（x）=x-lnx-1（x＞0），证明当x＞1时，h（x）递增，h（x）＞h（1）=0即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x＞1时，x-lnx-1＞0恒成立，可得n＞1时，lnn＜n-1，分别令n取2，3，…，并将各式相加，可得结论．

解答： （1）解：f′(x)=

1

x

+2ax-3（x＞0）（1分）
由f’（1）=0有：a=1（2分）
此时f′(x)=

1

x

+2x-3=

(2x-1)(x-1)

x

(x＞0)可知x=1时f（x）的极值点，（3分）
且f'（x）＞0?0＜x＜

1

2

或x＞1
∴f（x）的单调增区间为（0，

1

2

），（1，+∞）．（5分）
（2）证明：（Ⅰ）设h（x）=g（x）-f（x）=x-lnx-1（x＞0）
∴h′(x)=1-

1

x

当x＞1时，有h'（x）＞0恒成立，h（x）递增，∴h（x）＞h（1）=0
∴g（x）＞f（x）恒成立，即g（x）的图象恒在f（x）的上方．（8分）
（Ⅱ）证明：n=1时，不等式左边=1，右边=0，不等式成立．（9分）
由（Ⅰ）知：x＞1时，x-lnx-1＞0恒成立
∴n＞1时，lnn＜n-1（10分）
分别令n取2，3，…，并将各式相加，有：ln2+ln3+…+lnn＜1+2+…+（n-1）（12分）
∴ln(2×3×…×n)＜

1+(n-1)

2

(n-1)=

n2-n

2

＜

1

2

(n2-n+

1

4

)
∴4n²-4n+1＞8ln（1×2×3×…×n），即：（2n-1）²＞8ln（1×2×3×…×n）（13分）
综上有：（2n-1）²＞8ln（1×2×3×…×n）（n∈N^*）恒成立．（14分）

点评：本题主要考查了导数与函数的最值关系，考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，考查不等式的证明，属于难题．