Question

已知圆C的圆心为C（2，4）且与直线3x-4y=0相切，直线l过原点且与圆C相交于A，B两点，P为AB中点．
（1）求圆C的方程；
（2）若三角形ABC为直角三角形，求直线l的方程；
（3）过点（0，-1）是否存在定直线q交直线l于点Q，且满足|

OP

|•|

OQ

|=4，若存在，求出直线q的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）知道与直线相切，即可利用点到直线的距离求出半径，可得圆C的方程；
（2）根据A，B在圆上，可得三角形ABC是等腰直角三角形．设直线方程为kx-y=0（k＞0），则由三角形可知点到直线距离为

2

2

，即可得出结论；
（3）求出P，Q的坐标，利用|

OP

|•|

OQ

|=4，可得

1+2k

|k′-k|

=2，从而可得结论．

解答： 解：（1）∵圆C的圆心为C（2，4）且与直线3x-4y=0相切，
∴r=

|6-16|

32+42

=2，
∴圆的方程为（x-2）²+（y-4）²=4；
（2）∵A，B在圆上，∴三角形ABC是等腰直角三角形．
设直线方程为kx-y=0（k＞0），则由三角形可知点到直线距离为

2

2

，
代入距离公式得到

|2k-4|

k2+1

=

2

2

，解得k=1或k=7，
∴直线l的方程为x-y=0或7x-y=0；
（3）由题可设直线q的方程为y=k′x-1．
y=kx代入（x-2）²+（y-4）²=4，可得（k²+1）x²-4（1+2k）x+16=0，
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4(1+2k)

k2+1

，x₁x₂=

16

k2+1

∵P为AB中点，∴P（

2(1+2k)

k2+1

，

2k(1+2k)

k2+1

）
由

y=kx y=k′x-1

，可得Q（

1

k′-k

，

k

k′-k

），
∵|

OP

|•|

OQ

|=4，∴

1+2k

|k′-k|

=2，
∴1+2k=2|k′-k|，
∴1+2k=2k′-2k，或1+2k=-2k′+2k，
∴k′=-

1

2

时满足题意，此时直线q的方程为y=-

1

2

x-1．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆，直线与直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．