Question

已知（

x

+

1

3 x

）ⁿ的展开式中偶数项二项式系数和比（1+x）²ⁿ展开式中奇数项二项式系数和小120，求：
（Ⅰ）（1+x）²ⁿ展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）设（

x

+

1

3 x

）ⁿ展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求p+q．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（Ⅰ）求出n的值，利用二项式的性质即可求（1+x）²ⁿ展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）根据二项式的通项公式求出p，q即可求p+q．

解答： 解：由题意得2^n-1+120=2^2n-1，即（2ⁿ-16）（2ⁿ+15）=0，
∴2ⁿ-16=0，解得n=4．
（Ⅰ）（1+x）²ⁿ=（1+x）⁸，则展开式中二项式系数最大的项为第5项；
则T5=

C

4 8

x4=70x4．
（Ⅱ）（

x

+

1

3 x

）⁴的通项公式为T_r+1=

C

r 4

(

x

)4-r•(

1

3 x

)r=

C

r 4

•(

1

3

)r•x2-r，
由2-r=0，解得r=0，
则展开式中的常数项T₃=

C

2 4

•(

1

3

)2=

2

3

，
则常数项p=

2

3

，
令x=1，则展开式中所有项系数的和q=（1+

1

3

）⁴=

256

81

，
则p+q=

256

81

+

2

3

=

310

81

．

点评：本题主要考查二项式展开定理的应用，根据条件求出n的值以及求出二项展开式的通项公式是解决本题的关键．