Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），f（2）=0且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（2）=0，且f（x）=x有两个相等的实数根，求出a、b的值，从而得f（x）的解析式；（2）通过配方法求出函数的最大值．

解答： 解：（1）∵f（2）=0，∴4a+2b=0①；
又方程f（x）=x有两个相等的实数根，
即ax²+（b-1）x=0有两个相等的实数根，
∴（b-1）²=0②；
由①②可得，a=-

1

2

，b=1，
∴f（x）=-

1

2

x²+x；
（2）∵f（x）=-

1

2

x²+x
=-

1

2

（x-1）²+

1

2

∴当x=1时，f（x）有最大值

1

2

．

点评：本题考查了求函数的解析式以及利用函数的图象与性质求最值，从而得值域的问题，是基础题．