Question

已知函数f（x）=（2-a）lnx+

1

x

+2ax（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对任意的a∈（-3，-2），任意的x₁，x₂∈[1，3]，恒有ma+（a-2）ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|
成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=

2-a

x

-

1

x2

+2a=

2a(x- 1 2 )(x+ 1 a )

x2

，（x＞0），由此利用分类讨论思想和导数性质能求出f（x）的单调区间．
（2）若对任意a∈（-3，-2）及x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=（2-a）lnx+

1

x

+2ax（a∈R），
∴f′（x）=

2-a

x

-

1

x2

+2a=

2ax2+(2-a)x-1

x2

=

2a(x- 1 2 )(x+ 1 a )

x2

，（x＞0）…（6分）
①当

1

2

=-

1

a

，即a=-2时，f'（x）≤0恒成立，
∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；…（7分）
②当

a＜0 1 2 ＜- 1 a

，即-2＜a＜0时，f（x）的单调递减区间为（0，

1

2

），（-

1

a

，+∞），
f（x）的单调递增区间为（

1

2

，-

1

a

）；…（9分）
③当

a＜0 1 2 ＞- 1 a

，即a＜-2时，f（x）的单调递减区间为（0，-

1

a

），（

1

2

，+∞），
f（x）的单调递增区间为（-

1

a

，

1

2

）；…（11分）
④当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（

1

2

，+∞），f（x）的单调递减区间为（0，

1

2

）
综上所述：当a＜-2时，f（x）的单调递减区间为（0，-

1

a

），（

1

2

，+∞），
f（x）的单调递增区间为（-

1

a

，

1

2

）；
当a=-2时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；
当-2＜a＜0时，f（x）的单调递减区间为（0，

1

2

），（-

1

a

，+∞），
f（x）的单调递增区间为（

1

2

，-

1

a

）；
当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（

1

2

，+∞），f（x）的单调递减区间为（0，

1

2

）．
（2）由（1）可知，当a∈（-3，-2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减．
当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；
|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（3）=（1+2a）-[（2-a）ln3+

1

3

+6a]
=

2

3

-4a+（a-2）ln3，
∵（m+ln3）a-ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，
∴（m+ln3）a-2ln3＞

2

3

-4a+（a-2）ln3
整理得ma＞

2

3

-4a，∵a＜0，∴m＜

2

3a

-4恒成立，
∵-3＜a＜-2，
∴-

13

3

＜

2

3a

-4＜-

38

9

，
∴m≤-

13

3

．

点评：考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．