Question

4．如图，某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°，乙山山顶B的仰角为45°，∠APB的大小为45°，山脚P到山顶A的直线距离为2km，在A处测得山顶B的仰角为30°，则乙山的高度为2km．

Answer 1

分析 根据山顶的仰角可得AC=1，BP=$\sqrt{2}$BD，过A向乙山作垂线，则AB=2（BD-1），在△ABP中使用余弦定理列方程解出BD．

解答 解：假设甲山底部为C，乙山底部为D，过A作AE⊥BD于E．
由题意可知∠APC=30°，∠BPD=45°，AP=2，
∴AC=AP•sin30°=1，DE=AC=1，设BD=h，则DP=BD=h，BE=h-1，∴BP=$\sqrt{2}$h．
∵∠BAE=30°，∴AB=2BE=2h-2．
在△ABP中，由余弦定理得：cos45°=$\frac{A{P}^{2}+B{P}^{2}-A{B}^{2}}{2AP•BP}$=$\frac{4+2{h}^{2}-（{2h-2）}^{2}}{4\sqrt{2}h}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
解得h=2．
∴乙山的高度为2km．
故答案为：2．

点评 本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．