题目内容
19．已知sinα-cosα=$\frac{1}{3}$，求下列各式的值：（1）sinαcosα；（2）sin3α-cos3α；（3）sin4α-cos4α
分析 由条件利用同角三角函数的基本关系，平方差公式、立方差公式，求得要求式子的值．
解答 解：（1）∵已知sinα-cosα=$\frac{1}{3}$，
∴1-2sinαcosα=$\frac{1}{9}$，∴sinαcosα=$\frac{4}{9}$．
（2）sin3α-cos3α=（sinα-cosα）•（sin2α+cos2α+sinαcosα）=（sinα-cosα）•（1+sinαcosα）=$\frac{1}{3}$（1+$\frac{4}{9}$）=$\frac{13}{27}$．
（3）∵sinα-cosα=$\frac{1}{3}$，sinαcosα=$\frac{4}{9}$，
∴sinα＞cosα＞0 且sinα=$\frac{1+\sqrt{17}}{6}$，cosα=$\frac{-1+\sqrt{17}}{6}$．
sin4α-cos4α=（sin2α+cos2α）•（sin2α-cos2α）=sin2α-cos2α=$\frac{{（1+\sqrt{17}）}^{2}}{36}$-$\frac{{（-1+\sqrt{17}）}^{2}}{36}$=1．
点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，平方差公式、立方差公式的应用，属于基础题．
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