Question

甲、乙两个进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为

2

3

，乙在每局中获胜的概率为

1

3

，且各局胜负相互独立．
（1）求甲在打的局数最少的情况下获胜的概率；
（2）求比赛停止时已打局数ξ的期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）由甲在每局中获胜的概率为

2

3

，可得甲在打的局数最少的情况下获胜的概率；
（2）ξ的所有可能值为2，4，6．设每两局比赛为一轮，求出该轮结束时比赛停止的概率，由此能求出ξ的分布列，由ξ的分布列能求出Eξ．

解答： 解：（1）甲在打两局的情况下获胜的概率为P=

2

3

×

2

3

=

4

9

；
（2）ξ的可能取值为2、4、6，则PP（ξ=2）=(

2

3

)2+(

1

3

)2=

5

9

，
P（ξ=4）=

C

1 2

•

2

3

•

1

3

•[(

2

3

)2+(

1

3

)2]=

20

81

，P（ξ=6）=

C

1 2

C

1 2

(

2

3

)2(

1

3

)2=

16

81

，
故ξ的分布列为

ξ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

ξ的期望Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．

点评：本题考查互斥事件的概率和公式、考查相互独立事件同时发生的概率乘法公式、考查事随机变量的分布列的求法、考查随机变量的期望公式．