Question

已知函数f（x）=x（a+blnx）在（1，f（1））处的切线方程为2x-y-1=0．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）当x＞0时，f（x+1）＞tx恒成立，求整数t的最大值；
（Ⅲ）试证明：（1+2）（1+2²）（1+2³）…（1+2ⁿ）＞e^2n-3（n∈N^*）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系，即可求实数a，b的值；
（Ⅱ）利用参数分离法，将f（x+1）＞tx恒成立进行转化，利用导数即可求整数t的最大值；
（Ⅲ）构造函数，利用函数的单调性证明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x（a+blnx），
∴f′（x）=blnx+a+b，
∵直线2x-y-1=0的斜率为2，且过点（1，1），
则

f(1)=a=1 f′(1)=a+b=2

，解得a=1，b=1．
（Ⅱ）当x＞0时，
由f（x+1）＞tx，得到t＜

f(x+1)

x

=

(x+1)[1+ln(1+x)]

x

在（0，+∞）上恒成立，
取h（x）=

f(x+1)

x

=

(x+1)[1+ln(1+x)]

x

，
则h′（x）=

x-1-ln(x+1)

x2

再取g（x）=x-1-ln（x+1），则g′（x）=1-

1

x+1

=

x

x+1

＞0，
故g（x）在（0，+∞）上单调递增，
而g（1）=-ln2＜0，g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-2ln2＞0，
故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实数根a∈（2，3），a-1-ln（a+1）=0，
故x∈（0，a）时，g（x）＜0，x∈（a，+∞）时，g（x）＞0
∴h（x）_min=

a+1

a

[1+ln(a+1)]=a+1∈(3，4)，t≤3，
故整数t的最大值是3．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

1+ln(x+1)

x

＞

3

x+1

，(x＞0)，
则ln（x+1）＞

3x

x+1

-1=2-

3

x+1

＞2-

3

x

，
令x=2ⁿ 则ln（1+2ⁿ ）＞2-

3

2n

，
又ln（1+2）（1+2²）（1+2³）…（1+2ⁿ）=ln（1+2）+ln（1+2²）+ln（1+2³）+…+ln（1+2ⁿ）
＞2n-3（

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）=2n-3（1-

1

2n

）＞2n-3，
即（1+2）（1+2²）（1+2³）…（1+2ⁿ）＞e^2n-3（n∈N^*）．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的最值和不等式的证明，综合性较强，难度较大．