Question

如图所示的六面体，面ABC∥面A₁B₁C₁，AA₁⊥面ABC，AA₁=A₁C₁=2AB=2A₁B₁=2AC=2，AD⊥DC₁，D为BB₁的中点．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）求四面体C₁-ADC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：常规题型,空间位置关系与距离

分析：（1）要证AB⊥AC，由于A₁C₁∥AC，可以转化为证明A₁C₁⊥AB，通过证明A₁C₁⊥面ABB₁ A₁，可以证明A₁C₁⊥AB；
（2）要求四面体C₁-ADC的体积，可以转化为求四面体D-ACC₁ 的体积．

解答： 解：（1）证明：连结DA₁，由题意得，面ABB₁ A₁ 为矩形，
∵AA₁=2AB=2A₁B₁
∴AD⊥DA₁
因为AD⊥DC₁，A₁ D∩DC₁=D，
所以AD⊥面DC₁ A₁，得AD⊥A₁C₁
所以A₁C₁⊥面ABB₁ A₁，
∵AB?面ABB₁ A₁，
∴A₁C₁⊥AB
又∵A₁C₁∥AC
∴AB⊥AC．
（2）V C1-ADC=VD-ACC1=

1

3

．
所以四面体C₁-ADC的体积为

1

3

．

点评：本题考查了线面位置关系的证明及几何体的体积，证明线线垂直一般转化成证明线面垂直；求三棱锥的体积关键是通过转换顶点转化成易求底面积和高的三棱锥的体积问题．