Question

已知函数f（x）=sin（2x-

π

6

）+2cos²x-1；
（1）求f（x）在[-

π

2

，π]上的单调递增区间；
（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=

1

2

，b，a，c成等差数列，且

AB

•

AC

=9，求a的值．

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合

专题：等差数列与等比数列,三角函数的图像与性质

分析：第（1）问应先将f（x）解析式化简为f（x）=Asin（ωx+θ）+C的形式，然后利用换元法求f（x）在[-

π

2

，π]上的单调区间；
第（2）问“f（A）=

1

2

，b，a，c成等差数列，且

AB

•

AC

=9”三个条件化简后看出，实际上是“两边夹一角”类型，应采用余弦定理求a的值．

解答： 解：f(x)=sin(2x-

π

6

)+2cos2x-1=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+cos2x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin(2x+

π

6

)，
（1）要求原函数的增区间，只需-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z．化简得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
又因为x∈[-

π

2

，π]，取k=0，1，得原函数单调增区间为[-

π

3

，

π

6

]和[

2π

3

，π]．
（2）由f(A)=sin(2A+

π

6

)=

1

2

，（0＜A＜π）
解得2A+

π

6

=

π

6

或

5π

6

，所以A=

1

3

π或0（舍去），所以A=

π

3

，cosA=

1

2

，
又b，a，c成等差数列，所以b+c=2a，
由

AB

•

AC

=9得bccosA=9，即

1

2

bc=9，所以bc=18，
所以a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=4a²-54，
所以a²=18，得a=3

2

．

点评：对三角函数的图象和性质的考查，一般先将所给的函数式化为f（x）=Asin（ωx+θ）+C的形式，然后再研究单调性、最值、对称性等；
正余弦定理常与平面向量、数列、三角变换等知识相结合，一般先根据相关概念将条件转换为“边角”条件再进行处理，考查了学生灵活运用知识的能力．