题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的上顶点为B2，右焦点为F2，△B2OF2为等腰直角三角形（O为坐标原点），抛物线y2=4
x的焦点恰好是该椭圆的右顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点B1，B2分别是椭圆的下顶点和上顶点，点P是椭圆上异与B1，B2的点，求证：直线PB1和直线PB2的斜率之积为定值．
（3）已知圆M：x2+y2=
的切线l与椭圆相交于C，D两点，那么以CD为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点B1，B2分别是椭圆的下顶点和上顶点，点P是椭圆上异与B1，B2的点，求证：直线PB1和直线PB2的斜率之积为定值．
（3）已知圆M：x2+y2=
| 2 |
| 3 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）已知b=c，a=
，则b=c=1，可求椭圆C的方程；
（2）设P（m，n），则
+n2=1，求出直线PB1和直线PB2的斜率，即可得出结论．
（3）先求得直线l的斜率不存在及斜率为0时圆的方程，由此可得两圆所过公共点为原点O，当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理、向量数量积可得
•
的表达式，再根据线圆相切可得k，m的关系式，代入上述表达式可求得
•
=0，由此可得结论；
| 2 |
（2）设P（m，n），则
| m2 |
| 2 |
（3）先求得直线l的斜率不存在及斜率为0时圆的方程，由此可得两圆所过公共点为原点O，当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理、向量数量积可得
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
解答：
解：（1）已知b=c，a=
，
则b=c=1，
则所求方程为：
+y2=1；
（2）由已知B1（0，-1），B2（0，1），
设P（m，n），则
+n2=1，
∴kPB1•kPB2=
•
=
=-
；
（3）（i）当直线l的斜率不存在时，
因为直线l与圆M相切，故其中的一条切线方程为x=
．
代入椭圆方程可得，可得A（
，
），B（
，-
），
则以AB为直径的圆的方程为（x-
）2+y2=
．
（ii）当直线l的斜率为零时，
因为直线l与圆M相切，所以其中的一条切线方程为y=-
．
代入椭圆方程可得，可得A（
，-
），B（-
，-
），
则以AB为直径的圆的方程为x2+（y+
）2+y2=
．
显然以上两圆都经过点O（0，0）．
（iii）当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为y=kx+m．
代入椭圆方程消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
．
所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=
．
所以
•
=x1x2+y1y2=
①，
因为直线l和圆M相切，
所以圆心到直线l的距离d=
=
，整理，得m2=
（1+k2），②
将②代入①，得
•
=，显然以AB为直径的圆经过定点O（0，0），
综上可知，以AB为直径的圆过定点（0，0）．
| 2 |
则b=c=1，
则所求方程为：
| x2 |
| 2 |
（2）由已知B1（0，-1），B2（0，1），
设P（m，n），则
| m2 |
| 2 |
∴kPB1•kPB2=
| n+1 |
| m |
| n-1 |
| m |
| n2-1 |
| m2 |
| 1 |
| 2 |
（3）（i）当直线l的斜率不存在时，
因为直线l与圆M相切，故其中的一条切线方程为x=
| ||
| 3 |
代入椭圆方程可得，可得A（
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
则以AB为直径的圆的方程为（x-
| ||
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（ii）当直线l的斜率为零时，
因为直线l与圆M相切，所以其中的一条切线方程为y=-
| ||
| 3 |
代入椭圆方程可得，可得A（
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
则以AB为直径的圆的方程为x2+（y+
| ||
| 3 |
| 2 |
| 3 |
显然以上两圆都经过点O（0，0）．
（iii）当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为y=kx+m．
代入椭圆方程消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| -4km |
| 2k2+1 |
| 2m2-2 |
| 2k2+1 |
所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=
| m2-2k2 |
| 2k2+1 |
所以
| OA |
| OB |
| 3m2-2k2-2 |
| 2k2+1 |
因为直线l和圆M相切，
所以圆心到直线l的距离d=
| |m| | ||
|
| ||
| 3 |
| 2 |
| 3 |
将②代入①，得
| OA |
| OB |
综上可知，以AB为直径的圆过定点（0，0）．
点评：本题考查椭圆的方程、圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积运算，考查学生解决问题的能力．
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