Question

（理）已知点A（3，

3

），O为坐标原点，点P（x，y）的坐标x，y满足

3 x-y≤0 x- 3 y+2≥0 y≥0

，则向量

OP

在向量

OA

方向上的投影的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划,平面向量数量积的运算

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用向量投影的定义计算z的表达式，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：设z表示向量

OP

在

OA

方向上的投影，
∴z=

OP • OA

| OA |

=

3x+ 3 y

2 3

=

3

2

x+

1

2

y，
即y=-

3

x+2z，
作出不等式组对应的平面区域如图：
平移直线y=-

3

x+2z，当y=-

3

x+2z经过点B时直线y=-

3

x+2z的截距最大，此时z最大，
当y=-

3

x+2z经过点C（-2，0）时，直线的截距最小，此时z最小．此时z_min=

3

，
由

3 x-y=0 x- 3 y+2=0

，得

x=1 y= 3

，即B（1，

3

），
此时最大值z=

3

2

+

3

2

=

3

，
故z的取值范围是[-

3

，

3

]，
故答案为：[-

3

，

3

]

点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．