Question

在三棱锥P-ABC中，O为AC中点，PA=PB=PC=AC=2，AB=BC=

2

．
（1）求证：BO⊥平面PAC；
（2）求AB与PC所成角余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得PO⊥AC，BO⊥AC，从而BO⊥AC，由勾股定理得PO⊥BO，由此能证明BO⊥平面PAC．
（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB与PC所成角余弦值．

解答： （1）证明：∵在三棱锥P-ABC中，O为AC中点，PA=PB=PC=AC=2，AB=BC=

2

，
∴PO⊥AC，BO⊥AC，
∴AC⊥平面PBO，∴BO⊥AC，
∴BO=

2-1

=1，PO=

4-1

=

3

，
∴PO²+BO²=PB²，∴PO⊥BO，
∴BO⊥平面PAC．
（2）解：以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，

3

），C（0，-1，0），

AB

=（-1，1，0），

PC

=（0，-1，-

3

），
∴|cos＜

AB

，

PC

＞|=|

-1

2 ×2

|=

2

4

．
∴AB与PC所成角余弦值为

2

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．